EŞİTSİZLİKLER

EŞİTSİZLİKLER

A. TANIM

f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.

Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.

C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.

1) D > 0 ise,

2) D = 0 ise,

3) D < 0 ise,

1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.

2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.

3) a < 0 ve D < 0 ise,

f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.

Ü Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.

1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.

3. Adım : Sistemin işareti bulunur.

Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.

4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.

5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.

Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.

Ü Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.


(x + 1)100 = 0 Ş x = – 1 çift katlı köktür.

(x – 1)99 = 0 Ş x = 1 tek katlı köktür.

Ü çözüm kümesine;

P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,

Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.

Ü çözüm kümesine;


P(x) = 0

Q(x) = 0

sağlayan x değerleri alınmaz.


D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ

İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.

Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.

Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.


Ü f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve

g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise

sisteminin çözüm kümesi

Ç1 Ç Ç2 dir.


E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ

f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.

D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.


F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BİR

GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI

f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.

İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER


A. TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.



B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.



2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi




ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.




Ü ax2 + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.



C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,













D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

(x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.



Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.

Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine

yazılarak bulunur.



Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,





Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.



ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.



B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,









C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur.



Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.



1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x1 + x3 = 2x2 dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,




3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

x1 = x2 = x3 tür.

Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :


Kökleri çarpımı :